헤겔이 수학의 원리와 방법에 관해서 가장 상세하게 계통에 선 고찰을 전개하는 것은 『논리의 학』의 '이념' 편(그 편의 제2장 '참된 것의 이념')에서 보이듯이 그의 논리학 체계의 거의 종결부에 가까운 부분-결국 가장 본래적인 의미에서의 '진리'의 인식이 달성되는 단계-에서이다. 그 경우 그의 기본적인 주장은 수학적인 원리와 방법이 '필연적인 한계'[『논리의 학』 6. 535]를 지니며, 특히 그것들을 철학에까지 적용하는(예를 들면 스피노자와 같이) 것은 부적절하다는 것에 놓여 있다.

그러나 또한 이러한 수학에 관한 서술이 위와 같은 체계 내에서의 고차적인 위치에서 나타나듯이, 헤겔이 수학에 대해 철학에 준하는 중요한 인식론적 의의를 부여하고 그것을 주제로 한 해명을 행할 필요성을 인정하고 있다는 점도 확실하다. 구체적으로 헤겔은 수학의 원리와 방법을 그에게 특유한 의미에서의 '개념'과의 연관에서 설명하고 다시 위치짓고자 시도하고 있는바, 그의 논의의 가장 흥미로운 점은 바로 이러한 '개념'과 수학의 연관짓기에 있다고 말할 수 있을 것이다.

즉 우선 첫째로 헤겔은 인식 일반을 '분석적 인식'과 '종합적 인식'으로 구별하고, 산술을 전자에, 기하학을 후자에 속하게 하고 있다(대수는 기본적으로 산술의 발전형태로서 파악되고 있지만, 거기서는 '종합'적인 성격도 발견된다고 여겨진다[같은 책 6. 509 참조]).

분석적 인식이란 '개념'의 계기들 사이에서 발견되는 '타자로의 이행'을 포함하지 않고 오로지 '동등(gleich)'한 계기의 '반복'적인 계기로서만 성립하는 것이지만[같은 책 6. 507 참조], 헤겔은 산술에서의 연산 과정(또는 좀더 일반적으로 말하자면 정해진 수순에 따른 연산들의 조합으로서의 '알고리즘')이 바로 추상적이고 똑같은 단위들 사이의 기계적인 결합과 분리의 절차로서 이러한 분석적 인식으로서의 성격을 지닌다고 한다(이와 같은 연산절차의 내용을 상세하게 분석하고 있는 것은 아니지만, 그는 이런 저런 연산양식이 하나의 단순한 원리-즉 '합하여 헤아림(zusammenzählen)'-에 귀착된다고 주장한다[같은 책 5. 235 참조]).

다른 한편 종합적 인식이란 보편성 · 특수성 · 개별성이라는 '개념'의 계기들 간의 일정한 통일을 포함하지만, 사실 기하학에서와 같은 '증명'을 매개로 하는 '정의'와 '정리' 간의 결합에는 바로 그와 같은 '개념'적 통일의 실현(='이념')이 발견된다. "정리는 [증명을 매개로 하여] 정의와 결합되는 데서 개념과 실재성의 통일인 이념을 표현한다"[같은 책 6. 527]. 이와 같이 헤겔이 말하는 것은 (1) 정리에서는 대상(개별성)이 충분히 그 본질적인 내용에서(보편성 및 특수성으로서) 규정되어 있으며, (2) 더욱이 이 계기들의 결합이 단지 대상에서 직관과 지각에 의해서 발견되는 것이 아니라 증명을 매개로 하여 '개념의 내적 동일성'에 기초하는 '필연성'으로서 제시된다고 생각되기 때문이다[같은 책 6. 527].

이 경우에 구체적으로 헤겔은 '정리'라는 것에서 특히 피타고라스의 정리와 같은 것을 염두에 두고 있다. 실제로 이 정리는 개별적인 직각삼각형이 그 세 변(특수성) 사이에서 성립하는 일반적인 법칙적 관계(보편성)를 통해 바로 하나의 대상(개별성)으로서 규정되게 되는 사정을 말한 것으로서, 이상과 같은 의미에서의 '정리'의 한 예라고 볼 수 있을 것이다. 좀더 말하자면 그것은 (삼각함수로 일반화됨으로써) 임의의 삼각형의 규정을 위해서도 적용되게 되고, 또는 원의 기하학적 구성도 (직경의 양 끝과 원주상의 한 점을 연결한 삼각형은 언제나 직각삼각형으로 된다) 보이는 것처럼 다양한 도형 사이의 유기적인 연관을 명확하게 하는 기초로 되는 하나의 결절점적인 성격의 것이다.

대략 이상과 같은 의미에서 헤겔은 이 정리를 "삼각형의 완전한 실재적=사태적인 정의(reele Definition)"라고 부르며, 이 정리에서 '보편성'으로부터 '개별성'으로의 "참된 종합적인 진전"이 발견된다고 하고 있다[같은 책 6.532](또한 직각삼각형을 '가장 규정된 삼각형'으로 보는 견해는 이미 라이프니츠 등에게서도 보인다).

이상과 같이 산술과 기하학을 설명하면서도 헤겔은 그러나 좀더 나아가 수학 그 자체의 내용적인 진전에 따라 분석적/종합적 방법 모두가 그 한계를 드러내기에 이른다고 주장한다. 즉 그와 같은 한계는 첫째로 '통약불가능성', 요컨대 무리수의 등장[같은 책 6. 536 참조], 둘째로 이와 관련된 해석학(미적분학)이라는 형태에서의 '무한'의 등장[같은 책 6. 509f. 참조]에서 분명해지는 것이다. 헤겔에 따르면 이 양자는 단순한 '양 그 자체'로부터 '질적인 양 규정'으로의 이행을 의미하며, 따라서 또한 거기서의 동일성은 이미 산술적 연산에서와 같은 단순한 '동등성'이나 기하학적 정리에서와 같은 계기들의 긍정적 종합이 아니라 오히려 본래적으로 이질적인(통약불가능한) 양적 규정과 질적 규정간의 '부정적 동일성'으로서 파악되어야만 한다. 그리고 이와 같은 파악을 수행할 수 있는 것은 본래적인 의미에서의 '개념'의 입장에 선 철학에 의해서라고 주장된다.

이상과 같이 수학에 관한 헤겔의 논의는 그의 논리학 체계에서 하나의 중요한 위치를 점하고 있을 뿐 아니라 그가 말하는 의미에서의 '개념'이 어떠한 것인지를 이해하는 데서 여러 가지 시사점을 던지는 것이라고 말할 수 있다.

-오카모토 겐고(岡本賢吾)