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[미분] (Differentialkalkül )

헤겔은 『논리의 학』에서 상세히 미분론을 전개하고 있지만('정량의 무한성'에 대한 주해), 이것은 헤겔에게 있어 미적분(뉴턴, 라이프니츠 이래의 해석학)이 수학에서 사용되는 무한('수학적 무한')의, 철학적으로 그 의의가 가장 깊은 사례를 제공하고 있었기 때문이라고 말할 수 있다. 실제로 그는 해석학적인 무한의 용법이 그 자신의 철학적 · 사변적인 '무한성' 개념을 일정한 방식으로 구현하는 것이라고 주장한다. "수학적 무한의 규정, 특히 고등해석학에서 사용되는 것은 진무한의 개념에 합치된다"[『논리의 학』 5. 284].

해석학에서의 무한으로서 헤겔이 상정하고 있는 것은 기본적으로 (미분 가능한 하나의 변수함수 f(x)의) 도함수f'(x)에 관한 것이다. 즉 f'(x)는 예를 들면

미분 본문 이미지 1

와 같은 식으로 주어지지만, 이 우변과 같은 극한치는 "Δx가 0에 무한히 접근한다" 등으로 표현되듯이(결국 Δx의 값의 변역은 0을 제외한 실수연속체이다), 일정한 수학적인 무한구조를 전제하고 있다.

헤겔 이전에 상투적이었던 견해에 따르면 이상과 같은 도함수(또는 그것의 특정한 값으로서의 미분계수)는 "x의 값의 미소차이(dx)와 y의 값의 미소차이(dy) 사이의 극한적인 비(dy/dx)"로서 설명되었다. 그러나 f'(x)를 문자 그대로 〈dx와 dy의 비〉로서 간주해버리면 여러 가지 난점이 생기게 된다. 실제로 dx와 dy가 0 이외의 일정한 유한한 값을 취하는 한 dy/dx는 의도된 값에 도달할 수 없으며, 또한 dx의 값을 0으로 간주하면, 비의 분모가 0이 되어 나눗셈의 일반원리에 반하게 되고, 극한치가 존재하는 경우에는 dy의 값도 0이 되기 때문에 dy/dx는 0/0에 귀착되고 만다.

이러한 난점은 현대적인 논리적 · 수학적 취급(대략 코시로 소급된다)에서는 극한치 자체를 다시 엄밀하게 정의함으로써 해결된다(이에 따르면 위의 식의 Δx가 0이 될 필요가 없이 f'(x)는 의도된 값을 취할 수 있다).

다른 한편 동일한 문제에 대해서 헤겔은(그는 코시의 저작을 접하고 있었다) 일반적인 '비=연관(Verhältnis)' 개념(대략 함수에 해당된다)의 단계적 진전을 고찰함으로써 대답하고자 한다. 즉 그는 우선 가장 단순한 형태(일차함수)에서 출발하여 서서히 그것이 복잡화되는(고차의 함수) 과정을 더듬어가지만, 그때 최초의 단계에서 비의 관계에 서는 것이 x와 y의 직접적인 값인 데 반해 그 후 이것들에 대신하여 해당 값의 역수와 제곱수와 같은 것이 이 관계에 서게 된다는 점이 중시된다. 이것은 요컨대 함수가 x와 y의 값 사이의 직접적인 비례관계를 넘어서서 추상적인 상관관계로 일반화되어 그 대상적 자립성을 강화한다는 것이고, 헤겔적으로 말하면 '비=연관'이 x와 y의 직접적인 값이라는 '정량'에 대한 의존으로부터 벗어나 독자적인 '질'적 존재로서의 자유로운 현현을 획득한다는 것이다.

이와 같은 관점의 귀결로서 헤겔은 dy/dx를 '비=연관'의 궁극적 전개형태로서 위치 짓는다. 왜냐하면 여기서는 이미 통상적인 비의 경우와 달리 비의 양항의 값='정량'이 완전히 소멸함에도 불구하고 오히려 그 자신에 의해서 '비=연관'의 값이 확립되게 된다고 생각되기 때문이다. "[dy/dx에서] 정량은 소실되어 있으며, 이에 따라 비=연관은 전적으로 질적인 것과 같은 양적 비=연관으로서만 존재한다"[같은 책 5. 299]. 이러한 헤겔 주장의 안목은 dx와 dy를 각각에서 0이라는 값을 취하는 독립적인 변항으로서가 아니라 (0이란 그것 자체가 '정량'의 한 형태이다) 오히려 dy/dx라는 관계적 통일 속에서 '정량'의 '부정' 그 자체를 표현하는 것으로 파악해야만 한다는 점에 놓여 있다.

"dxdy는 이미 어떤 정량이 아니라······ 오로지 양자의 관계 속에서만 의미를 지니는 것이며, 단순한 계기로서만 의의를 지닌다"[같은 책 5. 295]. 따라서 또한 같은 이유에서 헤겔은 dx와 dy를 '무한소'(그것은 어디까지나 '정량'이다)로서 해석하는 입장도 물리친다. 이리하여 미분계수 내지 도함수 속에서 헤겔은 '정량'이 그 양적 외면성과 유한성 때문에 스스로의 자립성을 폐기하고, 그 진리태로서의 순수하게 질적인 '비=연관'에로 귀환한다는 관념론적인 '무한성'의 구조가 실현되는 예를 발견하고 있다.

이와 같은 헤겔이 논의에 대해 어떠한 의의를 인정할 수 있는가 단순하지 않다(실제로 그것은 앞과 같은 어려운 수학적 해결에 곧바로 도움이 되는 성격의 것은 아니다). 그러나 해석학의 의의를 '비=연관'(함수)의 개념 그 자체의 진전이라는 일관된 관점으로부터 위치짓고자 하는 그의 시도는 함수 개념의 성립과정을 이해하기 위해 참고로 되는 다양한 시사점을 포함하고 있으며, 또한 극한치의 개념과 무한개념과의 결합이 독특한 관념론적인 '무한성'이라는 관점으로부터 설명되고 있는 것이 지니는 의의는 현대의 엄밀한 형식적 취급과도 대조를 이룬다는 점에서 다시 그 참된 가치를 물어볼 만한 것이다.

-오카모토 겐고()

[네이버 지식백과] 미분 [微分, Differentialkalkül] (헤겔사전, 2009. 1. 8., 가토 히사다케, 구보 요이치, 고즈 구니오, 다카야마 마모루, 다키구치 기요에이, 야마구치 세이이치, 이신철)

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