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[수학 기초론] (〔數學基礎論, 영 foundations of mathematics〕)

미분 적분학의 발견 이래 무한에 관한 논의는 해결할 수 없는 결과나 논법을 수없이 가져왔다. 이 때문에 19세기 중엽부터 특히 수학의 엄밀한 기초가 요구되기에 이르렀고, 이 결과 데데킨트(J. W. R. Dedekind)의 실수론과 칸토르(G. Cantor)의 집합론이 나왔다. 그러나 수학의 기초를 다지기 위해 내놓은 집합론은 자신의 이론 중에서 몇 개의 명백한 패러독스를 발견하였다. 이러한 패러독스를 해결하여 수학의 안전성을 보증하는 이론이 바로 수학 기초론이라 할 수 있겠다. 이것은 또 철학 문제와 깊이 관련되어 있는 논리주의, 직관주의, 형식주의라는 세 가지 중요한 유파(流派)를 탄생시켰다. 논리주의는 수학을 논리학으로 환원하는 것에 의해서 패러독스를 제거하려고 하였고, 직관주의는 논리를 제한하여 일종의 구성 가능한 것만을 수학적 대상으로 취급하여 패러독스를 제거하려 하였으며, 형식주의는 무모순성(無矛盾性)의 증명이 가능한 형식적 체계만을 인정하는 것에 의해서 패러독스를 배제하려 하였다. 여기서 논리주의는 논리학을 확대하거나 또는 복잡하게 만들어 버렸고, 직관주의는 수학을 축소시켜 버리는 결과를 낳았으며, 형식주의는 타당하게 인정할 수 있는 증명 방식의 범위를 확대하지 않을 수 없는 난점을 파생시켰다. 그러나 이러한 이론이 형성되는 과정에서 수리(數理)와 논리의 증명은 현저하게 진보하였고, 또 다른 분야의 문제를 처리할 수 있는 방법이 제공될 수도 있게 되었다.
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